getting started with mmwave radar

mmwave
Author

dd21

Published

June 15, 2023

Abstract

This article provides an introduction to getting started with mmWave radar. mmWave radar is a powerful sensing technology used for measuring, detecting, and tracking target objects. The article focuses on the principles and operation of mmWave radar, as well as the methods for obtaining the necessary hardware and software resources. Basic hardware connections and configuration settings for launching an mmWave radar system are further discussed. Lastly, resources and references for further exploring mmWave radar are provided.

Keywords: mmWave radar, principles, operation, hardware resources, software resources, hardware connections, configuration settings, research resources, references.

Referance

调皮连续波雷达入门 https://zhuanlan.zhihu.com/p/416269210

毫米波雷达系统模型

雷达系统从发射天线（Tx）发射信号 \(X_T(t)\)，如图所示，当信号击中目标时，部分信号能量(即雷达回波)被反射回雷达接收天线（Rx），在此接收为信号。 雷达系统处理接收到的信号\(X_R(t)\) 以提取距离、速度和角度以及其他目标特征，以检测、定位、跟踪和识别目标对象 。

在本文中，我们专注于使用线性 FMCW 信号的雷达系统，线性 FMCW 信号可以提供大的时间带宽积，这使得同时实现高距离分辨率和高信噪比 (SNR) 成为可能 。 FMCW 信号由图 2 所示的起始频率 \(f_c\) 、带宽 B 和持续时间 \(T_c\) 表示。持续时间 \(T_c\) 上的 FMCW 信号称为啁啾（chirp），也叫做调频信号， 调频信号的频率随时间以线性增加。

线性FMCW（Frequency-Modulated Continuous Wave）信号是一种常用的雷达信号形式，具有许多优势之一是可以提供较大的时间带宽积。时间带宽积是指信号的带宽乘以信号持续时间，表示信号在时间和频率上的分辨能力。

线性FMCW信号通过在发送信号中线性地改变频率来实现。它的特点是频率随时间线性变化，例如从一个较低频率逐渐增加到一个较高频率，然后再回到较低频率。这种频率变化形成了一个连续的频率扫描。

由于线性FMCW信号具有较大的频率变化范围，因此可以得到较大的带宽。这意味着信号在时间上的分辨能力较高，可以更准确地测量目标物体的距离。高距离分辨率使得雷达系统能够更好地区分不同距离上的目标，提供更精确的距离测量。

此外，线性FMCW信号还能够提供较高的信噪比（SNR）。由于信号的频率在时间上连续变化，接收到的回波信号会与发送信号进行频率匹配。这种频率匹配可以通过信号处理技术进行精确匹配，从而提高接收到的信号的强度和质量，进而提高信噪比。

因此，线性FMCW信号的特点使得在雷达系统中可以同时实现高距离分辨率和高信噪比。这对于许多应用场景，如目标检测、距离测量和目标跟踪等都具有重要意义。

TI教程

1. 距离解析

1.1 什么是混频器(MIXER)

混频器, 有2个输入一个输出, 并且有两个特性 - 输出的瞬时频率 等于 两个输入正弦波的瞬时 频率的差值 - 输出正弦波的起始相位等于两个 输入正弦波的 起始相位差值

总结: 混频器输出 相位等于两个输入的起始相位的差 () 混频器输出 频率等于两个输入的瞬时频率差 (所以他们之间的频率差都是相等的)

φ: 相位 w: 频率

\[input_1: x_1 = sin(w_1𝑡 + φ1) \] \[input_2 : 𝑥2 = sin(w_2𝑡 + φ2) \]

\[output = input_1+input_2 = sin((w_2-w_1)𝑡 + (φ2-φ1))\]

单目标测距原理

  • 中频信号 = 斜率 x 时延.
  • IF = S*τ
  • IF = S*(2d/c) d:传播距离 c:光速
  • d = IF*c/2S

距离分辨率, 区分多目标

  • 通过FFT将时域信号转换为频域信号, 所表现出来的是多个目标的频域信号会出现多个峰, 两个脉冲相差小于一个周期则无法很明显观察到峰, 观测时间越长, 峰越清晰
  • 观察时长为T的一个观察窗可以分离相隔超过1/T Hz的频率分量(个人理解应该是带宽B/T的频率分量)????
  • 观察窗口长度为 的 IF 信号能将间距为 的谱峰分开。故通过增加 IF 信号的长度（观察期）来可以改善距离分辨率。而信号长度的增加会使信号带宽 随之变宽，因此，也可以说增加 IF 信号的带宽可以改善距离分辨率。

在这里插入图片描述 > ## 相关应用的个人推测 > - 因为观察窗时间加长, 所以带宽B也线性增加. > - 所以斜率对于应用的影响非常关键 > - 如果是短距离的目标距离分辨, 那合理推测斜率应该是比较大, 这样可以区分出近距离的不同目标, 且可以使得观察窗T的周期尽可能缩短. > - 如果是远距离的物体, 那斜率应该尽可能的小,这样可以检测到远处目标的反射信号, > - 那这样的话, ti的vitalSign的项目就是斜率比较高的配置

区分多个目标–总结

  • 区分多个目标的原理,就是将两个相距为△d的目标映射到频率差为△f的两个峰
  • 最小分辨率: c/2B

推导:

\[ {△f>}{1\over T } \]

\[ {2△dS\over c}>{1\over T } \] \[ {△d}>{c\over 2ST } \] 又因为: B=ST \[ {△d}>{c\over 2B } \]

距离分辨率计算:

扫频带宽 B = 4G 距离分辨率 $ {△d} = {c2B }={310^8 (m/s)4*10^9(Hz)}$ = 0.0375m

距离越远, (中频信号)频率越高, 距离和(中频信号)频率成正比, 因发射的脉冲, 遇到物体返回的时间越长(τ越大), 对应的图上的Sτ就越大(即中频信号的频率就越大).

问题: 同样的扫频带宽, 但是斜率不一样, 哪一个的距离分辨率好

chirpA好于chirpB, 为什么因为前面推理过, 观测时间窗越长分辨效果越好, A的持续时间更长, 所以A具有更好的距离分辨率.

对于上面的问题, 如果我们必须使用较短的持续时间, 且需要较好的距离分辨率, 那该如何解决.

雷达倾向于使用大距离小斜率, 这样的话可以缓解ADC的压力, 受限制于目前的技术ADC的采样速度有限, 所以尽可能的降低ADC采样速度. > 对应公式来看, 那么当斜率较高时(f_IFmax), d_max(最大探测距离)也比较大, 斜率S较小d_max也较小.

\[ f_{IFmax}={2S d_{max}\over c} \]

最远探测距离

IF信号通常经过数字化处理（LPF + ADC），才在DSP上进行进一步处理，因此，中频信号的大小取决于ADC采样频率（FS）。

\[ Fs>f_{IFmax}=S2d_{max}/c \]

因此最大距离为： \[ d_{max} = {F_s{c} \over 2S} \]

例子:

ADC配置: 默认最大采样率25Mhz
profileCfg 0 77 7 7 114.4 0 0  33.71 1 256 2500 0 0 48

最大距离 ADC有效采样率 = 0.9 * ADC采样率 2500kps => 2.5Mhz 为什么是33.71*10^12 因为S为33.71Mhz/us => 33.71*10^6Hz/us => 33.71*10^6*10^6Hz/s => 33.71*10^12Hz/s \[ Rmax = {0.9*2.5*10^{6}*3*10^{8}\over 2*33.71*10^{12}} = 10.011865...m \]

中频信号的相位

雷达将Tx信号发出, 经过△t时间后接收到返回信号Rx(B), 接收到的Rx信号为Tx信号的副本信号(B开始的灰色段), 但是物体由于自身的运动, 第二次的回波信号(E)和第一次的回波信号(B)产生了偏移(BE), 该段相位偏移导致了,中频信号(IF)的相位也发生了偏移(混频器), 并且他们的偏移量都是一样的, 所以可以通过相位的变化来反应时间(△τ)的变化, 因为电磁波传播的速度是不变的, 所以通过时间反推出距离的变化(△d=△τ/c).

由上面的推理可以将CF之间的相位变化转换为BE之间的相位变化, 同理BE之间的相位变化转换为AD之间的相位变化, D处的相位是基于A处的相位变化的,

波长和频率的关系: λ = c/f m λ = c/f =3/77 = 0.003896m

\[ ΔΦ=2πf_c Δτ= {4πΔd\overλ} \]

推导:

\[ Δτ= {{2Δd}\over c} \\ {λ= fc}, \space \space f={c\overλ}\\ 2πf_c Δτ =\space 2π {c\overλ} {{2Δd}\over c} = {4πΔd\overλ} \]

举例:

雷达系统配置:

雷达前方的物体移动1mm，相位的变化为(1/4)*λ, 相位变化很大

\[ \Delta \phi= \frac{4\pi \Delta d}{\lambda} = \pi = 180\degree \]

频率变化, \[ Δf= {S2Δd\over c}= {{50∗10^{12}∗2∗1∗10^{−3}}\over{3∗10^8}}=333Hz \]

333Mhz对于77G来说太小了, 分辨比较困难. \[ ΔfT_c=333∗40∗10^{−6}=0.013cycles \]

速度测量原理

  • 发送两个时间间隔为Tc 的 chirp
  • 对接收回来的信号做range-FFTs会在相位的位置产生峰值，但是有不同的相位
  • 相位差(ω)对应于物体移动的距离(d=vt)d=v*Tc，v是物体的速度，Tc是时间

\[ ω= {4πvTc\overλ} ​\]

推导

\[ v= {ωλ\over4πTc} \]

因此两个连续的chirp可以用来估计一个目标的速度

​物体微小位移和震动检测 假设运动幅度非常小，因此物体的最大位移 是波长的一小部分（例如，一毫米或更小）。如果我们在这个振荡物体的前面放置一个雷达并发射一串等距的线性调频信号，则这些线性调频信号中的每一个都会产生反射线性调频信号，而处理后的 IF 信号将产生距离 FFT 中的峰值。这些峰值的频率不会发生太大变化，但是峰值的相位将响应物体的振荡运动

下图为相位-时间图

故相位的时间演化可用于估计振动的幅度和周期性。

速度估计

这里章节TI的字幕有误

参考 xiaojie

有一个离散信号(数字采样的信号)，该向量以每个样本ω弧度的恒定速率旋转，如下图：

这些采样点在经过FFT后会在ω的位置产生一个峰值

假设一个信号是两个相位之和，则经过FFT后会产生两个峰值(每个相位中的每个样本点的旋转角频率分别为ω1 和ω2) > A1: 频率 > ω: 相位

当 ω1 = 0 , ω2 = π/N , 经过N个采样点后，第二个相位比第一个相位多半个周期(π rads)，这个变化在频域上不足以区分这两个物体.

ω1对应下图中的1, ω2 -> 2 …

当经过2N个采样点后，第二个相位比第一个相位多一个周期(2π rads)，这个变换在频域上就可以区分这两个物体

该部分的前提条件都是 在一个信号周期(2π)内该值固定 当采样点为2N的时候, 离散角频率的分辨率为2 π / N 因为信号周期为2π固定不变, 所以为了提高分辨率需要提高采样点数, 但是该参数和硬件ADC性能有关

序列长度越长，分辨率越高，一般来说，一个长度为N的序列可以分离出超过2 π / N以上的角频率

比较连续和离散信号在频域分辨率的标准

连续信号：时间轴上的信号是连续的.

该种情况下, 只有当频率变化大于1/T(秒s)才可以被捕捉到.

\[ Δf= {1\over T} cycles/sec \]

离散信号: 在时间轴上的取值是离散的信号

只要两个离散信号的频率间隔差值ω大于2 π / N,即可区分出两种频率

\[ Δω={2 π \over N}radians/sample = {1\over N}cycles/sample \space ( 1cycles= 2π {\space}radians) \] 一种情况是分辨率与观测时间T表示的长度成反比，另一种情况是分辨率与观测样本数N表示的长度成反比

雷达如何估计一个物体的速度

使用两个chirp来进行速度的测量

  • 发送两个时间间隔为Tc 的chirp
  • 每个chirp的range-FFT在相同的位置会出现峰值，但是会有不同的起始相位
  • 测量的相位差对应于物体的移动距离(vTc)

相位差：

\[ ω =\space 2π {c\overλ} {{2Δd}\over c} = {4πΔd\overλ} = {4πvTc\overλ} ​\]

推导出

\[ v = {ωλ\over4πTc} ​\]

在两个连续的chirps的相位差可以用来估计物体的速度

雷达的最大可测量速度

物体远离雷达，此时ω > 0.

物体靠近雷达，此时ω < 0

如果ω大于180° 那样就不能分清楚是旋转了角度a还是角度b

因此，最大的无模糊速度测量是∣ω∣ < π

可推导出

\[ {4πvTc\overλ}< π \]

\[ v<{λ\over 4Tc} \]

最大的可测量速度举例: Tc = 40us

\[ V_{max} = {λ\over4Tc} = {4*10^{-3}m\over4*40*10^{-6}s} = 25m/s \]

更高的速度需要更近的chirp(Tc尽可能的小)

这里所描述的都是单个物体的情况.

相同距离不同速度的多个物体怎么测速

两个物体, 距离相同, 速度不同

解决问题的方法是让雷达发射N个等间隔的chirp

先做range-fft, 得到相同位置的峰.

在range-fft的基础上，再做一次fft，这个fft叫做doppler-fft，这样会得到第一次fft的相位的两个分量(这个分量的数量取决于被测物体的数量)

对应的速度分别为 \[ V_{1} = {λω_1\over4πTc} \space V_{2} = {λω_2\over4πTc} \] > 他们在做完range-fft之后将会拥有相同的位置, 和相同的峰值. 但是该位置处相对应的离散值(相位值),由两个(取决于物体数量)旋转向量ω1,ω2组成, 他们分别以频率ω1,ω2进行旋转,分别对应两个速度v1 和 v2, 所以测量处ω1,ω2后我们即可计算出v1,v2 这个过程就是多普勒FFT, 那么多普勒FFT的速度分辨率怎么样(换个说法, v1和v2最小间隔多少可以分辨为2个峰)

多目标速度分辨率(多普勒fft分辨率)推导

\[ △ω = {4π△vTc\overλ} \] 又因为, 只要两个离散信号的频率间隔差值△ω大于2 π / N,即可区分出两种频率,N为一个frame中chirp的个数

\[ △ω >{2 π \over N} \]

Tc: T_chirp Tf: T_frame

\[ {4π△vTc\overλ} > {2 π \over N}\\ \space \\ {△vTc\overλ} > {2 π \over N4π} (= {1\over N})\\ \space \\ Δv> {λ\over2NTc}\\ \] 所以 \[ Δv> {λ\over2Tf} \]

总结 假设雷达前方有两个物体，两个物体离雷达的距离不一样，前面通过两个chirp来测相位差的方法还可以用，但是如果两个物体距的雷达的距离相等，经过range-FFT后，只有一个峰值，因此，峰值处的相位就会有两个分量，这样，通过相位比较的方法就不再适用.

速度分辨率举例:

一些系统设计的话题

range-FFT

雷达处理接收天线接收回来的数据，对每一个接收回来的chirp做range-fft，然后range-fft处理后的数据按行存储到L3或DDR中，由于range-fft对应的频率，距离与中频成正比，因此可以将x轴绘制为距离轴，如下图：

在上面的图中，在距离维度上的range=3和range=8的距离处有物体，但是有几个物体不知道，只是知道雷达前方有物体，

有待考证: 在大多数雷达的实现中，range-fft是在将ADC样本存储到内存之前完成的

doppler-FFT

在执行完range-fft之后，要在chirp index方向上做doppler-fft，做doppler-fft的时候，要将数据从L3或DDR内存中取出，然后再执行doppler-fft，由于dopper-fft对应离散角频率，离散角频率与速度成正比，因此可以将y轴绘制为速度轴。

对做了range-fft的数据做doppler-fft，会发现在距离为range=3处有两个物体，速度分别为1和4，在range=8处有三个物体，速度分别为1、3和5。

注意: 只有一个frame中的全部chirp做了range-fft之后才可以执行doppler-fft，因此系统中必须有足够的存储器来存储执行range-fft之后的数据

设计chirp的参数要求(雷达系统设计依据)

最大速度:

\[ V_{max} = {λ\over4Tc} \rArr {Tc = {λ\over 4V_{max}}} \]

速度分辨率：

\[ Vres = {λ\over2Tf}\rArr {Tf = {λ\over 2 Vres}} \]

距离分辨率： △d => d_res \[ {d_{res}}={c\over 2B } \rArr B = {c\over 2d_{res} } \]

设备的限制

  1. 设备的最大中频带宽有限制, 所以F_if_max为固定值, 则需要在S和d_max之间进行取舍, 因为c是常量, S(斜率)大, d_max(最大探测距离)就得小
  2. 设备的频率提升(斜率)性能有限制(最短时间内能变换的频率是有限制的),
  3. 对于相邻chirp之间的空闲时间限制(防止相邻chirp之间的干扰,需要空闲时间进行chirp隔离).

  1. 设备的存储空间要求, 因为对于数据处理来说, 每个frame的数据量是相当庞大的,将fft数据全部存储后才能做多普勒fft, 设备的存储空间也是有限的.

速度优先的应用(chirp场景配置依据)

对于速度优先的场景, Tc越小, 可以测速度范围越大, 所以根据场景我们将Tc固定下来了.

接下来需要考虑S(斜率)的问题, 因为F_if(中频信号)受限制于设备, 所以有上限(即为确定值), 所以我们需要在S和d_max之间进行取舍, S越大, d_max越小,

S(斜率)越大表示相同时间内跨越的带宽越大, 所以分辨率越高, 但是d_max会变小.反之S越小, 相同时间内跨越的带宽越小, 分辨率越差, 但是d_max(最大探测距离)会增大(这里是理论上最佳最大探测距离, 实际最大探测距离受限制于ADC性能,以及物体的反射功率). 长距离雷达: 斜率较小, 距离较大, 分辨率较差 短距离雷达: 斜率较高, 距离较短, 分辨率较高

雷达距离公式

之前了解到雷达最大探测距离受限制于最大ADC采样频率, 其实还有一个决定最大探测距离的重要因素最大距离物体的信号反射强度, 要有足够的反射强度才能被检测到.

决定物体反射强度的因素

信号从发出时的功率(pt)随着距离的平方不断衰减, 如下公式,

调整为具有更佳增益的天线可增加功率密度从而改善衰减.

通常的做法是: 调整天线的方向性, 从而来提高天线的增益. (在更窄的视野中探测更远,或者在更宽阔的视野中探测较近的距离)

Pt: 设备输出功率 G_tx/tx: 发送/接收天线增益 σ: 雷达反射截面积(Radar Cross Section of the Target，RCS) A_RX: RX天线的有效孔径面积(Effective aperture area of RX antenna)接收天线尽可能捕获反射回的信号能力的度量

设备原始情况下, 辐射功率密度 \[ Radiated \space Power \space Density = {{P_t}\over 4π{d^2}} W/m^2 \]

天线增益情况下, 辐射功率密度 \[ Radiated \space Power \space Density = {{P_tG_{TX}}\over 4π{d^2}}W/m^2 \]

当信号碰到物体，反射的功率为 \[ Power\space reflected \space by \space object = {{P_tG_{TX}σ}\over 4π{d^2}}W \]

经过反射回到接收天线处(不是接收到的), 辐射功率密度

\[ Power \space density \space at \space RX \space ant = {{P_tG_{TX}σ}\over {(4π)}^2{(d^2)}^2}W/m^2 \]

在接收天线捕获的功率为

\[ Power \space captured \space at \space RX \space ant = {{P_tG_{TX}σ}A_{RX}\over {(4π)}^2{d^4}}W \]

带入上式 > 接收天线尽可能捕获反射回的信号能力的度量 > 根据接收天线的增益G_Rx和工作波长λ

\[ A_{RX} = {{G_{RX}λ^2}\over 4π} \]

根据该公式可以得出 - 接收功率 - 和发射功率,发射天线增益,接收天线增益成正比. - 和到目标距离的4次方(d^4)成反比

\[ Power \space captured \space at \space RX \space ant = {{P_tG_{TX}σ}G_{RX}λ^2 \over {(4π)}^3{d^4}}W \]

接收器(雷达)是否可以看到目标不仅取决于接收到的信号的功率还取决于信号能量和噪声能量的比率(信噪比,SNR).

信噪比计算公式, 信噪比概念

k 天线噪声系数, 和天线的物理特性有关. F 接收器噪声系数, 雷达内部引入的额外噪声. T_means总的测量时间(Tc*N)N表示有多少个chirp，T_c是说明每个chirp持续的时间

在测量中存在检测目标所需的最小信噪比（SNR_min），SNR_min的选择为漏检概率与虚警概率之间的权衡，典型数字在15dB-20dB范围内。若给定一个确定的SNR_min，雷达可探测的距离为：

\[ d_{max} = ({σP_tG_{TX}G_{RX}λ^2T_{means}\over (4π)^3SNR_{min}kTF})^{1\over 4} \] > 信噪比越大越好 > 信噪比会因为T_means的时间(NTc)增加而提高, 这是因为采样越多, 噪声越趋于某个平均值. > - 但是SNR_min 配置的越大, 可能导致可能性较低的目标丢失 > - SNR_min配置较小, 可能会有误报的情况, 所以需要根据应用来调整

角度估计

单个物体判断角度位置

两个物体, 距离相同, 速度相同, 怎么区分

雷达最大可视角度

角度分辨率

角度测量原理

xiaojie csdn开MINI的工科男 知乎过路人毫米波雷达基础

目标距离的微小变化会导致range-FFT峰值的相位变化。角度估计至少需要2个RX天线。 从目标到每个天线的差分距离 Δ d 导致FFT峰值发生相位变化，该相位变化用于估计到达角。

发射天线发送一个chirp，经过物体发射后信号，信号分别被第一根天线和第二根天线接收，第一根天线接收的距离为d dd，第二根天线接收的距离为d + Δd，额外的距离会产生相位差，ω = 2πΔd/λ ​

上图中右部分的图中的d和左图中的d不是同一个代指, 二者无关联.

假设两根天线接收回来的信号是平行的, Rx2接收到的信号,比Rx1接收的信号传播距离多出△d, 反应在相位变化上.

L是在硬件设计的时候就固定好的天线间距. Δd = L*sin(θ)

由于相位变化与距离间的关系为： \[ ω = { 2πΔd\over λ} \]

又因为

\[ Δd = L*sin(θ) \]

所以

\[ ω = { 2πLsin(θ)\over λ} \]

所以 \[ {ωλ\over2πL} = { sin(θ) } \space \\ θ = sin^{-1}({ωλ\over2πL}) \] #### 角度测量的准确性

在ω (sin(θ))和θ 之间的关系不是线性的

在这个图中，当θ 趋近于0时，sin(θ)对θ 的变化是非常敏感的，θ 的微小变化可能会导致sin(θ)的同等大小的变化，但是sin(θ)的敏感性会随θ的增大的敏感性减小，当θ 接近于90°时，sin(θ)对θ 的变化是变得非常不敏感，因此随着θ角度的增加，角度的估算就会更容易产生误差

的敏感度sin(θ)（变化速率）随着θ 的增大降低,在 θ=0时，ω对θ的变化最为敏感（在 θ=90°时变为0(无法测量)）

因此，角度测量值的准确度取决于到达角AoA (θ)，且在 AoA值越小时越准确。

雷达的最大角视场

物体在雷达的左边，向量逆时针转

物体在雷达的右边，向量顺时针转

当向量转的角度超过180度时，就会产生模糊，不知道物体是在雷达的左侧还是在雷达的右侧,

因此，角度的最大无模糊为： ∣ω∣<180° > L: 接收天线距离

\[ ω = { 2πLsin(θ)\over λ} \rArr {θ = sin^{-1}({λ\over 2L})} \]

因此雷达的最大角视场可能为−90° ~ +90°

测量雷达前方多个距离和速度相同的物体

雷达前方有两个物体，他们的距离和速度相同，这样两个物体将处于2D-FFT中相同位置的距离速度单元，如下图所示.

之前简单的相位比较就不再适用

解决方案是：将RX天线的数量从两个增加到N个

经过FFT(angle-FFT)后，得到下图

ω1和ω2分别对应于两个物体之间的接收天线的相位差

\[ θ1 = sin^{-1}({ω1λ\over2πL}) \space \\ \space \\ θ2 = sin^{-1}({ω2λ\over2πL}) \]

得到结果是弧度，最后还应该乘以180度，得到角度

角度分辨率

角度分辨率(θ _res)是两个物体在ange-FFT中作为单独峰值出现的最小角度的问题

\[ ω1 = { 2πLsin(θ)\over λ} \space \\ ω2 = { 2πLsin(θ)\over λ} \space \\ △ω = ω2-ω1 \rArr { {2πL\over λ}{sin((θ+△θ)-sin(θ))}} \]

又因为

所以

\[ △ω = { {2πL\over λ}{cos(θ)△θ}} \]

又因为傅里叶特性, 分辨两个峰值, 需要>2π/N. N为FFT的样本输入数量, 在该例中即是接收天线的数量.

\[ △ω = { {2πL\over λ}{cos(θ)△θ}} > {2π \over N} \space \\ \space \\ \rArr △θ > {λ\over NLcos(θ)} \]

所以角度分辨率

\[ θ_{res} = {λ\over NLcos(θ)} \]

通常假设L = λ/2,θ = 0,得：

\[ θ_{res} = {2\over N} \]

所以角度分辨率和天线数量成正比.